Задание 16: Кредиты, аннуитетный платеж — ЕГЭ по математике

В августе 2020 года взяли кредит. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на r%
;

— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.

Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 777600 рублей, или за два года равными платежами по 1317600 рублей. Найдите r.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$S$ - сумма, взятая в кредит

$r\%$ (увеличение долга в $\%$ )

Увеличение долга:

$1+\frac{r}{100}$

$n$ - количество лет

Если $n=4$ , то $x_1=776600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=2$ , то $x_2=1317600$ руб (где $x$ - ежегодный платеж)

Если $n=4$

Начисление $\%$ в $1$ год:

$S\cdot (1+\frac{r}{100})$

Выплата первого платежа:

$S\cdot (1+\frac{r}{100})-x$

Начисление $\%$ во $2$ год:

$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$

Выплата второго платежа:

$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$

Начисление $\%$ в $3$ год:

$((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$

Выплата четвертого платежа:

$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)$

Начисление $\%$ в $4$ год:

$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})$

Составим математическую модель.

Пусть:

$(1+\frac{r}{100})=k$

Если $n=4$ :

$(((S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_1)\cdot (1+\frac{r}{100})=0\\ (((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0$

Если $n=2$ :

$(S\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2)\cdot (1+\frac{r}{100})-x_2=0\\ (Sk-x_2)k-x_2=0\\ Sk^2-x_2k-x_2=0$

$(((Sk-x_1)k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ ((Sk^2-x_1k-x_1)k-x_1)k-x_1=0\\ (Sk^3-x_1k^2-x_1k-x_1)k-x_1=0\\ Sk^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ Sk^4=x_1(k^3+k^2+k+1)$ $Sk^2-x_2k-x_2=0\\ S=\frac{x_2+x_2k}{k^2}$ Сумма геометрической прогрессии:

$k^3+k^2+k+1\\ Sk^4=x_1\frac{k^4-1}{k}-1$

Но так как:

$S=\frac{x_2+x_2k}{k_2}$

Значит:

$(\frac{x_2+x_2k}{k^2})\cdot k^4-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^2x_2+x_2k^3-x_1k^3-x_1k^2-x_1k-x_1=0\\ k^3(x_2-x_1)+k^2(x_2-x_1)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)(k^3+k^2)-x_1(k+1)=0\\ (x_2-x_1)k^2(k+1)-x_1(k+1)=0$

$((x_2-x_1)k^2-x_1)(k+1)=0$

сократим на $(k+1)$ , так как $k>0$

$(x_2-x_1)k^2-x_1=0\\ k^2=\frac{x_1}{x_2-x_1}$

Тогда:

$k^2=\frac{777600}{1317600-777600}=\frac{777600}{540000}=\frac{7776}{5400}=1,44$

Значит: $\begin{aligned} 1+\frac{r}{100}=1,2\\ \frac{r}{100}=0,2\\ r=20 \end{aligned}$ Ответ: 20