Задание 17: Медианы и биссектрисы — ЕГЭ по математике

На продолжении стороны $AC$ за вершину $A$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD=AB$ . Прямая, проходящая через точку $A$ , параллельно $BD$ , пересекает сторону $BC$ в точке $M$ .

а) Докажите, что $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$ .

б) Найти $S_{AMBD}$ , если $AC=30,\; BC=18$ ,;и $AB=24$ .

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Решение:

а)

Так как $BD \parallel AM$ , то $\angle MAB = \angle ABD,\; \text{как накрест лежащие}$ $\angle CAM = \angle ADB,\; \text{как соответственные}$

Из условия $AD = AB \quad \Longrightarrow \quad \Delta BAD$ — равнобедренный.

Тогда $\angle ADB = \angle ABD$ , а значит $\angle BAM = \angle MAC \quad \Longrightarrow \quad AM \text{ --- биссектриса}$

б) $AC^2 = BC^2 + AB^2 \quad \Leftrightarrow \quad 30^2 = 18^2 + 24^2$

Равенство верно, тогда, по теореме обратной т.Пифагора $\Delta ABC$ — прямоугольный.

По свойству биссектрисы в $\Delta ABC$ $\dfrac{BM}{MC} = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{24}{30} = \dfrac{4}{5}$

Пусть $MC = x \; \Longrightarrow \; BM = 18-x$
Тогда $\dfrac{18-x}{x} = \dfrac{4}{5} \quad \Longrightarrow \quad x = 10$ Далее, $S_{\Delta AMC} = S_{\Delta ABC} - S_{\Delta AMB}$ :
$S_{\Delta AMC} =\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC - \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot BM = \dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 18 - \dfrac{1}{2}\cdot 24 \cdot 8 = 120$ Так как $AM \parallel DB,$ ; то $\Delta ACM \sim \Delta DCB,\; k=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{5}{9}$ $S_{\Delta DBC} = \left(\dfrac{9}{5} \right)^2\cdot S_{\Delta AMC} = \left(\dfrac{9}{5} \right)^2\cdot 120 = 388,8$ Тогда $S_{AMDB} = S_{\Delta DBC} - S_{\Delta AMC} = 388,8 - 120 = 268,8$

Ответ: $268,8$