На продолжении стороны AC за вершину A треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=AB. Прямая, проходящая через точку A, параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M.
а) Докажите, что AM — биссектриса треугольника ABC.
б) Найти SAMBD, если AC=30,BC=18,;и AB=24.
Источник: ЕГЭ 2016, основная волна
Решение:
а)
Так как BD∥AM, то
∠MAB=∠ABD,какнакрестлежащие∠CAM=∠ADB,каксоответственные
Из условия AD=AB⟹ΔBAD — равнобедренный.
Тогда ∠ADB=∠ABD, а значит
∠BAM=∠MAC⟹AM — биссектриса
б)
AC2=BC2+AB2⇔302=182+242
Равенство верно, тогда, по теореме обратной т.Пифагора ΔABC — прямоугольный.
По свойству биссектрисы в ΔABCMCBM=ACAB=3024=54
Пусть MC=x⟹BM=18−x
Тогда
x18−x=54⟹x=10
Далее, SΔAMC=SΔABC−SΔAMB: SΔAMC=21⋅AB⋅BC−21⋅AB⋅BM=21⋅24⋅18−21⋅24⋅8=120
Так как AM∥DB,; то ΔACM∼ΔDCB,k=CBCM=95SΔDBC=(59)2⋅SΔAMC=(59)2⋅120=388,8
Тогда
SAMDB=SΔDBC−SΔAMC=388,8−120=268,8
К окружности с диаметром AB=10 проведена касательная BC так, что BC=5. Прямая AC вторично пересекает окружность в точке D. Точка E окружности диаметрально противоположна точке D. Прямые ED и BC пересекаются в точке F.
а) Докажите, что BD2=CD⋅BE.
б) Найдите площадь треугольника FBE.
Источник: ЕГЭ 2020, резервная волна
Решение:
а)
∠BDA=90∘, так как опирается на диаметр AB.
Тогда BD — высота прямоугольного ΔABC⟹BD2=CD⋅AD.
∠EOB=∠AOD,каквертикальныеуглыEO=AD,AO=OB,какрадиусы
Следовательно, ΔEOB=ΔDOA
Значит, EB=AD, тогда
BD2=CD⋅AD=CD⋅BE.
б) ΔABC — прямоугольный, тогда по т.Пифагора
AC=AB2+BC2=102+52=55
Далее,
∠ABC=∠ADB=90∘∠BAC — общий
Следовательно, ΔABC∼ΔADB
Тогда
ABBD=ACBC⟹BD=ACAB⋅BC=5510⋅5=25BDAD=BCAB⟹AD=BCBD⋅AB=525⋅10=45=EB
Тогда
CD=AC−AD=55−45=5
По теореме Менелая для ΔABC и прямой OF:
OABO⋅DCAD⋅FBCF=1⟺1⋅545⋅BFCF=1⟺BF=4CF.
Тогда
BF=34BC=320,CF=35
Далее,
SΔFBE=21⋅FB⋅BE⋅sin∠FBE
Найдем sin∠FBE:
sin∠FBE=sin(∠FBD+∠DBE)=sin(∠FBD+90∘)=cos∠FBD=BCBD=525.
Таким образом
SΔFBE=21⋅320⋅45⋅525=380.
