Тип 17 № 12900

а)

$\angle BDA = 90^\circ,$ так как опирается на диаметр AB.
Тогда $BD$ — высота прямоугольного $\Delta ABC \quad \Longrightarrow \quad BD^2 = CD \cdot AD$. $$\angle EOB = \angle AOD, \text{ как вертикальные углы}$$ $$EO = AD, \; AO=OB, \text{ как радиусы}$$ Следовательно, $\Delta EOB = \Delta DOA$

Значит, $EB = AD$, тогда $$BD^2 = CD\cdot AD = CD \cdot BE.$$

б) $\Delta ABC$ — прямоугольный, тогда по т.Пифагора $$AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}$$ Далее, $$\angle ABC = \angle ADB=90^\circ$$ $$\angle BAC \text{ --- общий}$$ Следовательно, $\Delta ABC \sim \Delta ADB$

Тогда $$\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BC}{AC} \quad \Longrightarrow \quad BD =\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{10\cdot 5}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$ $$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AB}{BC} \quad \Longrightarrow \quad AD =\dfrac{BD\cdot AB}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}\cdot 10}{5}=4\sqrt{5}=EB$$ Тогда $$CD = AC - AD = 5\sqrt{5}-4\sqrt{5}=\sqrt{5}$$

По теореме Менелая для $\Delta ABC$ и прямой $OF$: $$\dfrac{BO}{OA}\cdot\dfrac{AD}{DC}\cdot\dfrac{CF}{FB}=1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1\cdot\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot\ \dfrac{CF}{BF}=1 \quad \Longleftrightarrow \quad BF =4CF.$$ Тогда $$BF = \dfrac{4}{3}BC = \dfrac{20}{3}, \quad CF = \dfrac{5}{3}$$

Далее, $$S_{\Delta FBE} = \dfrac{1}{2}\cdot FB \cdot BE \cdot \sin \angle FBE$$ Найдем $\sin \angle FBE$: $$\sin \angle FBE = \sin(\angle FBD +\angle DBE)=\sin(\angle FBD+90^\circ)=\cos \angle FBD = \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$ Таким образом $$S_{\Delta FBE} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{20}{3} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = \dfrac{80}{3}.$$

Ответ: $\quad \dfrac{80}{3}$