Задание 16: Кредиты, аннуитетный платеж — ЕГЭ по математике

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

−каждый январь долг увеличивается на 25%\ по сравнению с концом предыдущего года;

−с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Решение:

Пусть $S$ – сумма, которую изначально взяли в кредит, $x$ – сумма ежегодной выплаты, $(1+0,25) = 1,25$ – коэффициент ежегодного увеличения долга. Составим таблицу движения денежных средств:

По условию кредит планируется выплатить за 3 года, значит:

$((S\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x=0$

Общая сумма выплат составит $3\cdot x$ , что по условию на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит ( $S$ ), то есть:

$3x-S=65500$

Для нахождения суммы кредита $S$ решим систему уравнений: $\left\{ \begin{array}{l} ((S\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x=0\\[1.2em] 3x=S+65500 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(\left(S\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{5}{4}x-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{9}{4}x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{45}{16}x-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244\cdot\dfrac{S+65500}{3}\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 375S-244S=244\cdot 65500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 131S=244\cdot 131\cdot 500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=122000\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right.$

Таким образом, сумма планируемого кредита $S$ составит 122 000 рублей.

Ответ: 122000.