Тип 14 № 12926

а) Пусть $G𝑂$ - высота пирамиды $GABCDEF$. Пусть $K$ - точка пересечения $AD$ и $EH$. Треугольники $𝑂EK$ и $KDH$ подобны, так как $𝑂E \| HD$ (по свойству правильного шестиугольника). Следовательно, $\frac{OK}{KD} =\frac{OE}{HD} =\frac{4}{3}$. Однако, $\frac{GI}{ID} =\frac{4}{3} =\frac{OK}{KD}$. Тогда треугольники $𝑂GD$ и $KID$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему $\angle{ODG}$, а прямые $𝑂G$ и $KI$ параллельны (по обратной теореме Фалеса), следовательно, прямая $KI$ перпендикулярна плоскости $BCD$. Таким образом, плоскость $HIE$ перпендикулярна плоскости основания (так как $KI$ лежит в $(HIE))$.

б) Объем пирамиды $DEIH$ будем искать как $\frac{1}{3} KH\cdot S_{HDE},KH=\frac{3}{7} \cdot GO, GO$ найдем из треугольника $GOD$ по теореме Пифагора $\Rightarrow GO=\sqrt{33} ,IK=\frac{3}{7}\sqrt{33}$ $$S_{DEH} =\frac{1}{2} DE\cdot DH\cdot \sin 120^{\circ } =3\sqrt{3}$$ Тогда:

$$V=\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{3}{7}\sqrt{33} =\frac{9\sqrt{11}}{7}$$ Ответ: $\frac{9\sqrt{11}}{7}$.