Тип 15 № 12989

$$*\begin{cases} 6 - x > 0\\ 6 - x \neq 1\\ x^2 - 2x + 1 > 0\\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < 6\\ x \neq 5\\ (x - 1)^2 > 0\\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (1; 6)\\ x \neq 5\\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (1; 5) \cup (5; 6)$$

Вернёмся к исходному неравенству: $$\frac{\log_{6 - x}(x^2 - 2x + 1)}{\log_3(x - 1) - 2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\log_{6 - x}(x - 1)^2}{\log_3(x - 1) - 2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(6 - x - 1)((x - 1)^2 - 1)}{(3 - 1)(x - 1 - 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(5 - x)(x^2 - 2x + 1 - 1)}{2(x - 10)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(5 - x)(x^2 - 2x)}{2(x - 10)} \geq 0$$ $$\Leftrightarrow \frac{(5 - x)x(x - 2)}{2(x - 10)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 5)x(x - 2)}{x - 10} \leq 0$$

Получаем: $$x \in [0; 2] \cup [5; 10]$$

С учётом ограничения $*$, получаем итоговый ответ: $$x \in (1; 2] \cup (5; 6)$$

Ответ: $(1; 2] \cup (5; 6)$