Тип 14 № 13080

а)

Так как $LMNK$ — квадрат, то $LM \parallel KN$. Поскольку $LM \subset (ABD)$, $KN \subset (ABC)$ и $(ABC) \cap (KLM) = KN$, $(ABD) \cap (KLM) = LM$, то $LM \parallel AB \parallel KN$.

По теореме Фалеса: $$\frac{AK}{KC} = \frac{BN}{NC} = \frac{3}{7}$$

Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны, следовательно: $$\frac{KN}{AB} = \frac{KC}{AC} = \frac{7}{10} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{10 \cdot KN}{7}$$

Аналогично, так как $MN \parallel LK \parallel DC$, по теореме Фалеса: $$\frac{AL}{LD} = \frac{BM}{MD} = \frac{3}{7}$$

Треугольники $ALK$ и $ADC$ подобны, следовательно: $$\frac{LK}{DC} = \frac{AL}{AD} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad DC = \frac{10 \cdot LK}{3}$$

Так как $KLMN$ — квадрат, то $KN = LK$. Тогда: $$\frac{AB}{DC} = \frac{\dfrac{10 \cdot KN}{7}}{\dfrac{10 \cdot LK}{3}} = \frac{10 \cdot KN}{7} \cdot \frac{3}{10 \cdot KN} = \frac{3}{7}$$

б)

Пусть $h$ — высота из точки $D$ на плоскость $ABC$, $h_M$ — высота из точки $M$ на плоскость $ABC$.

Так как $M$ делит ребро $BD$ в отношении $BM:MD = 3:7$: $$\frac{h_M}{h} = \frac{BM}{BD} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad h_M = \frac{3}{10} h$$

Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $k = \dfrac{7}{10}$: $$\frac{S_{CKN}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} \quad \Rightarrow \quad S_{CKN} = \frac{49}{100} S_{CAB}$$

Объём пирамиды $MKNC$: $$V_{MKNC} = \frac{1}{3} \cdot h_M \cdot S_{KNC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} h \cdot \frac{49}{100} S_{ABC} = \frac{147}{1000} \cdot \underbrace{\frac{1}{3} h \cdot S_{ABC}}_{V_{DABC}} = \frac{147}{1000} \cdot 100 = \frac{147}{10}$$

Так как $KLMN$ — квадрат, то $S_{KMN} = S_{KLM}$ (равные диагонали делят квадрат на равные части). Высоты из точки $C$ одинаковы, следовательно $V_{CMKN} = V_{CKLM}$.

Итоговый объём: $$V_{CKLMN} = V_{CMKN} + V_{CKLM} = 2 \cdot V_{MKNC} = 2 \cdot \frac{147}{10} = \frac{147}{5}$$

Ответ: ${V_{CKLMN} = \dfrac{147}{5}}$