Тип 15 № 13226

а)

Рассмотрим треугольник $MBA$:

$$MA^{2} = 26 = 10 + 16 = (\sqrt{10})^{2} + 4^{2} = MB^{2} + AB^{2}.$$

Следовательно, треугольник $MBA$ прямоугольный и $MB \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $MBC$:

$$MC^{2} = 235 = 10 + 225 = (\sqrt{10})^{2} + 15^{2} = MB^{2} + BC^{2}.$$

Следовательно, треугольник $MBC$ прямоугольный и $MB \perp BC$.

Таким образом, прямая $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $(ABCD)$. Тогда прямая $MB$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$ и $MB$ — высота пирамиды $MABCD$.

б) По пункту (а) прямая $MB \perp (ABCD)$, значит, $MB \perp AD$. По условию $AB \perp AD$, значит, $AD \perp (ABM)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Следовательно, $AM$ — проекция $MD$ на плоскость $(ABM)$. Тогда угол $AMD$ и есть угол между $MD$ и плоскостью $(ABM)$.

По теореме Пифагора в треугольнике $AMD$:

$$MD^{2} = MA^{2} + AD^{2} = 26 + 225 = 251, \qquad MD = \sqrt{251}.$$

Тогда найдём искомый угол:

$$\sin \angle AMD = \frac{AD}{MD} = \frac{15}{\sqrt{251}},$$

$$\angle AMD = \arcsin \frac{15}{\sqrt{251}}.$$

Ответ: б) $\displaystyle \arcsin \frac{15}{\sqrt{251}}$.