Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна
Решение:
а) Пусть Вася в первый день решил задач, а Петя задач. В -ый день Вася решит задачу, а всего он решит задач. Петя в -ый день решит задач. А всего .
Если всего задач 85, тогда При и уравнение имеет решение, проверим для Пети При и уравнение также имеет решение. Значит в сборнике могло быть 85 задач
б) , тогда для Пети получим Значит — делитель 213, но 213 имеет всего 2 делителя: 71 и 3, так как равняться трем не может, а 71 — простое, то или . В обоих случаях , значит, в сборнике 213 задач быть не может.
в) Так как задач меньше 300, то для Пети Значит, наибольшее равно 17: , тогда . Проверим для Васи Так как левая часть кратна 8, а правая нет, то не может равняться 17.
Пусть . . Заметим, что левая часть кратна двум, а правая нет, значит, не может быть.
Пусть . . Левая часть кратна 15, правая кратна при , но при этом станет больше, чем 300. Значит, — невозможно.
Пусть . . При и уравнение имеет решение, тогда Значит, максимальное равно 14.
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 14.