Последовательности и прогрессии

а) Пусть Вася в первый день решил $a$ задач, а Петя $b$ задач. В $n$-ый день Вася решит $a+n-1$ задачу, а всего он решит $\dfrac{2a+n-1}{2} \cdot n$ задач. Петя в $m$-ый день решит $b+2(m-1)$ задач. А всего $\dfrac{b+2(m-1)+b}{2} \cdot m$.

Если всего задач 85, тогда $$\dfrac{2a+n-1}{2}\cdot n = 85 \quad \Rightarrow \quad (2a+n-1)\cdot n = 17\cdot5\cdot2$$ При $n=2$ и $a=42$ уравнение имеет решение, проверим для Пети $$\dfrac{2b+2m-2}{2}\cdot m = 85 \quad \Rightarrow \quad (b+m-1)\cdot m = 17\cdot 5$$ При $m=5$ и $b=13$ уравнение также имеет решение. Значит в сборнике могло быть 85 задач

б) $n>3, \; m>3$, тогда для Пети получим $$(b+m-1)\cdot m = 213 \quad \Rightarrow \quad (b+m-1)\cdot m = 71 \cdot 3$$ Значит $m$ — делитель 213, но 213 имеет всего 2 делителя: 71 и 3, так как равняться трем $m$ не может, а 71 — простое, то $m=71$ или $m=213$. В обоих случаях $b<0$, значит, в сборнике 213 задач быть не может.

в) Так как задач меньше 300, то для Пети $$300 > (b+m-1)\cdot m \ge (1+m-1)\cdot m = m^2 \quad \Rightarrow \quad m^2 <300$$ Значит, наибольшее $m$ равно 17: $(b+17-1)\cdot 17 <300$, тогда $b=1; S=289$. Проверим для Васи $$\dfrac{2a+16-1}{2}\cdot16=289$$ $$(2a+15)\cdot 8 = 289$$ Так как левая часть кратна 8, а правая нет, то $m$ не может равняться 17.

Пусть $m=16$. $(b+15)\cdot16=(2a+15)\cdot8 \quad \Rightarrow \quad (b+15)\cdot2 = 2a+15$. Заметим, что левая часть кратна двум, а правая нет, значит, $m=16$ не может быть.

Пусть $m=15$. $(b+14)\cdot15=(2a+15)\cdot8$. Левая часть кратна 15, правая кратна при $a\ge 15$, но при этом $S$ станет больше, чем 300. Значит, $m=15$ — невозможно.

Пусть $m=14$. $(b+13)\cdot14=(2a+15)\cdot8 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{b+13}{4}=\dfrac{2a+15}{7}$. При $b=7$ и $a=10$ уравнение имеет решение, тогда $$S=(7+13)\cdot14=(2\cdot10+15)\cdot8 = 280$$ Значит, максимальное $m$ равно 14.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 14.

а) Да, может: $a_1=70, \; a_2 = 140,\; a_3 =42\; a_4=84, \; a_5=168$.

б) $a_{100}=75$ — нечетное, тогда $a_{99}=173$ — также нечетное, $a_{98}=271$ — нечетное. Все числа данной последовательности будут нечетными (нечетное + четное = нечетное). Тогда $$a_1 = 75+98\cdot 99 = 9777$$

в) Заметим, что если в цепочке есть два раза подряд вычитание по 98, наименьшее значение для наибольшего члена последовательности — 197. Рассмотрим цепочку, в которой первый член $a_1 = 1$, тогда в последовательности появится число 128, так как до этого можно только умножать на 2. Продолжим рассуждения для других вариантов последовательностей, $$a_1 = 2 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 3 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 4 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 5 \rightarrow 160$$ $$a_1 = 6 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 7 \rightarrow 112$$ $$a_1 = 8 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 9 \rightarrow 144$$ $$a_1 = 10 \rightarrow 160$$ Построим последовательность для $a_1=7$: $$7 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow\; ...$$ То есть 112 — наибольший член последовательности.

Если бы $a_n \le 98$, то тогда в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Кроме того, можно заметить, что так как $a_n$ — наибольший член, то предыдущее число было $\dfrac{a}{2}$, значит, $a$ — четное.

Таким образом, возможные меньшие $a$ могут быть только: 100, 102, 104, 106, 108 и 110.

Для чисел 100, 102 и 106 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=1$, ее разбирали выше, в ней есть число 128.

Для чисел 104 и 110 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=6$, в ней есть число 192

Для числа 108 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=10$, в ней есть число 160.

Таким образом, наибольший член в последовательности меньше 112 быть не может

Ответ: а) Да; б) 9777; в) 112.

а) Да, может: $a_1=1, \; a_2 = 2,\; a_3 =3\; a_4=4$ $1+2+3+4=10$

б) Пусть $a$ — первый член прогрессии, $S_n$ — сумма ее членов, $d$ — разность прогрессии. Тогда $$S_n = \dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n$$ Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n \ge \dfrac{2+(n-1)}{2}\cdot n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ Тогда $$\dfrac{n(n+1)}{2} < 1000 \quad \Rightarrow \quad n(n+1)<2000 \quad \Rightarrow \quad n\le 44$$ Найдем сумму арифметической прогрессии для $a_1=1, d=1, n=44$: $$\quad S_n =\dfrac{2+(44-1)\cdot1}{2}\cdot44=990<1000$$

в) $S_n=129$, тогда $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n = 129$$ $$(2a+d(n-1))n = 258 = 2 \cdot 3 \cdot 43$$ Значит, $n$ — делитель числа 258. Тогда $n$ может равняться: 2, 3, 6, 43, 86, 129, 258.

Если $n\ge 43$, то $(2a+d(n-1))n\ge44\cdot43 > 258$, тогда $n$ может быть: 2, 3 или 6

Из условия $n\ge 3$, значит $n=3$ или $n=6$. Такие последовательности есть: $$n=3: \quad 42+43+44=129$$ $$n=4: \quad 19+20+21+22+23+24=129$$

Ответ: а) Да; б) 44; в) 3,6.

а) Да, может: $a_1=-1, \; a_2 = 0,\; a_3 =1\; a_4=2, \; a_5=3,\; a_6=4$.

$-1+0+1+2+3+4=9$

б) $$S = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n = 2 \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)\cdot n = 4$$ Из условия $n\ge 5$, значит такое невозможно.

в) $$S = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)\cdot n = 2S \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)=\dfrac{2S}{n}$$ Из предыдущего пункта $S \neq 2$ и $n\ge 5$. Аналогично, не трудно показать, что $S$ не может равняться $-2$ и $\pm1$. При этом $S$ может равняться нулю: $$-2 + (-1) + 0 +1 +2= 0$$ Таким образом, $S$ может принимать любые значения, кроме -2, -1, 1 и 2.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) Любые целые значения, кроме: -2, -1, 1, 2.

а) Пусть $a$ — член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — число членов. $$a_1+a_n=99 \quad \Rightarrow \quad a_5=a_1+4d$$ $$a_1+a_1+4d = 99 \quad \Leftrightarrow 2a_1+4d = 99$$ Левая часть уравнения кратна двум, а правая часть не кратна двум, соответственно, такого быть не может.

б) $$a_1+a_6 = 6$$ $$a_1+ a_1 + 5d = 9$$ $$2a_1+5d=9 \quad \Rightarrow \quad d=\dfrac{9-2a_1}{5}$$ Все члены прогрессии натуральные, значит $a_1=2$ и $d=1$, иначе $d$ не натуральное. Тогда прогрессия имеет вид: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) $a_n = a_1 + d(n-1)$ $$\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}=6,5$$ $$2a_1+d(n-1)=13$$ $$n=\dfrac{13-2a_1}{d}+1$$ $n$ будет наибольшим, при $a_1$ и $d$ минимальных, значит, $d=1, a_1=1$. Следовательно, $n\le 12$. При $n=12$ получим прогрессию: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: а) Нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.