Тип 19 № 13245

а) Да, может: $a_1=70, \; a_2 = 140,\; a_3 =42\; a_4=84, \; a_5=168$.

б) $a_{100}=75$ — нечетное, тогда $a_{99}=173$ — также нечетное, $a_{98}=271$ — нечетное. Все числа данной последовательности будут нечетными (нечетное + четное = нечетное). Тогда $$a_1 = 75+98\cdot 99 = 9777$$

в) Заметим, что если в цепочке есть два раза подряд вычитание по 98, наименьшее значение для наибольшего члена последовательности — 197. Рассмотрим цепочку, в которой первый член $a_1 = 1$, тогда в последовательности появится число 128, так как до этого можно только умножать на 2. Продолжим рассуждения для других вариантов последовательностей, $$a_1 = 2 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 3 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 4 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 5 \rightarrow 160$$ $$a_1 = 6 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 7 \rightarrow 112$$ $$a_1 = 8 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 9 \rightarrow 144$$ $$a_1 = 10 \rightarrow 160$$ Построим последовательность для $a_1=7$: $$7 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow\; ...$$ То есть 112 — наибольший член последовательности.

Если бы $a_n \le 98$, то тогда в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Кроме того, можно заметить, что так как $a_n$ — наибольший член, то предыдущее число было $\dfrac{a}{2}$, значит, $a$ — четное.

Таким образом, возможные меньшие $a$ могут быть только: 100, 102, 104, 106, 108 и 110.

Для чисел 100, 102 и 106 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=1$, ее разбирали выше, в ней есть число 128.

Для чисел 104 и 110 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=6$, в ней есть число 192

Для числа 108 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=10$, в ней есть число 160.

Таким образом, наибольший член в последовательности меньше 112 быть не может

Ответ: а) Да; б) 9777; в) 112.