Тип 19 № 13246

а) Да, может: $a_1=1, \; a_2 = 2,\; a_3 =3\; a_4=4$ $1+2+3+4=10$

б) Пусть $a$ — первый член прогрессии, $S_n$ — сумма ее членов, $d$ — разность прогрессии. Тогда $$S_n = \dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n$$ Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n \ge \dfrac{2+(n-1)}{2}\cdot n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ Тогда $$\dfrac{n(n+1)}{2} < 1000 \quad \Rightarrow \quad n(n+1)<2000 \quad \Rightarrow \quad n\le 44$$ Найдем сумму арифметической прогрессии для $a_1=1, d=1, n=44$: $$\quad S_n =\dfrac{2+(44-1)\cdot1}{2}\cdot44=990<1000$$

в) $S_n=129$, тогда $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n = 129$$ $$(2a+d(n-1))n = 258 = 2 \cdot 3 \cdot 43$$ Значит, $n$ — делитель числа 258. Тогда $n$ может равняться: 2, 3, 6, 43, 86, 129, 258.

Если $n\ge 43$, то $(2a+d(n-1))n\ge44\cdot43 > 258$, тогда $n$ может быть: 2, 3 или 6

Из условия $n\ge 3$, значит $n=3$ или $n=6$. Такие последовательности есть: $$n=3: \quad 42+43+44=129$$ $$n=4: \quad 19+20+21+22+23+24=129$$

Ответ: а) Да; б) 44; в) 3,6.