Тип 14 № 13372

а)

Так как $BB_{1} \perp (A_{1}B_{1}C_{1})$, $B_{1}C_{1} \perp A_{1}C_{1}$, то по теореме о трёх перпендикулярах $$BC_{1} \perp A_{1}C_{1}.$$ Следовательно, $\triangle A_{1}C_{1}B$ — прямоугольный.

б) Заметим, что $BC \perp AC$ и $BC \perp CC_{1}$, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $$BC \perp (AA_{1}C_{1}).$$ Следовательно, $BC$ — высота пирамиды $BAA_{1}C_{1}$ с основанием $AA_{1}C_{1}$.

Так как $\triangle AA_{1}C_{1}$ — прямоугольный, то $$V_{BAA_{1}C_{1}} = \frac12 \cdot AA_{1} \cdot A_{1}C_{1} \cdot \frac{BC}{3}.$$

По теореме Пифагора: $$A_{1}C_{1} = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} = \sqrt{16 \cdot 36} = 24,$$ $$AA_{1} = \sqrt{26^{2} - 25^{2}} = \sqrt{1 \cdot 51} = \sqrt{51},$$ $$BC = \sqrt{10^{2} - 51} = \sqrt{49} = 7.$$

Тогда объём: $$V_{BAA_{1}C_{1}} = \frac12 \cdot 24 \cdot \sqrt{51} \cdot \frac{7}{3} = 28\sqrt{51}.$$

$$\boxed{28\sqrt{51}}$$