Тип 14 № 13373

a)

Пусть точка $N$ — середина $AB$, а $S$ — точка пересечения медиан треугольника $ABM$. Тогда имеем: $$MS : SN = 2 : 1.$$

Заметим, что точка $O$ является точкой пересечения медиан правильного треугольника $ABC$. Тогда: $$CO : ON = 2 : 1.$$

Рассмотрим плоскость $(CMN)$. В ней, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $SO \parallel CM$, так как $$NS : SM = NO : OC = 1 : 2.$$

В правильной призме $OO_1 \parallel CC_1$, значит $SO \parallel OO_1$, то есть $S \in OO_1$.

—

b) Вычислим объёмы пирамид $ABCC_1$ и $ABCM$: $$V_{ABCC_1} = \frac13 \cdot CC_1 \cdot S_{ABC}, \qquad V_{ABCM} = \frac13 \cdot CM \cdot S_{ABC}.$$

По условию $CC_1 = AA_1 = 3$, $CM = 1$. Найдём площадь $\triangle ABC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, его сторона равна 6, значит: $$S_{ABC} = \frac{AB^2\sqrt3}{4} = 9\sqrt3.$$

Тогда искомый объём пирамиды равен: $$V_{ABMC_1} = V_{ABCC_1} - V_{ABCM} = \frac13 \cdot S_{ABC} \,(CC_1 - CM) = \frac13 \cdot 9\sqrt3 \cdot 2 = 6\sqrt3.$$

$$\boxed{6\sqrt3}$$