Тип 15 № 13890

a)

Рассмотрим треугольник $BB_{1}D_{1}$. По условию $K$ — середина ребра $BB_{1}$. Через точку $K$ проведем среднюю линию $KL$, параллельную стороне $BD_{1}$. Тогда точка $L$ лежит в плоскости $\alpha$, так как эта плоскость параллельна прямой $BD_{1}$.

Диагонали $A_{1}C_{1}$ и $B_{1}D_{1}$ квадрата $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ точкой пересечения делятся пополам, при этом $L$ — середина $B_{1}D_{1}$. Значит, $A_{1}C_{1}$ и $B_{1}D_{1}$ пересекаются в точке $L$.

Прямая $A_{1}C_{1}$ проходит через точки $C_{1}$ и $L$, лежащие в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $A_{1}C_{1}$ лежит в плоскости $\alpha$, значит, $\triangle A_{1}KC_{1}$ — искомое сечение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A_{1}B_{1}K$ и $C_{1}B_{1}K$. У этих треугольников катеты $A_{1}B_{1}$ и $C_{1}B_{1}$ равны как стороны квадрата $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, а катет $B_{1}K$ — общий. Значит, $$\triangle A_{1}B_{1}K = \triangle C_{1}B_{1}K$$ по двум катетам. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому $$A_{1}K = C_{1}K.$$ Следовательно, треугольник $A_{1}KC_{1}$ — равнобедренный.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$: $$A_{1}C_{1} = \sqrt{A_{1}B_{1}^{2} + C_{1}B_{1}^{2}} = \sqrt{(3\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} = 6.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1}B_{1}K$: $$A_{1}K^{2} = A_{1}B_{1}^{2} + B_{1}K^{2} = (3\sqrt{2})^{2} + \left(\frac{2\sqrt{7}}{2}\right)^{2} = 18 + 7 = 25.$$ Значит, $$A_{1}K = 5.$$

Тогда периметр треугольника $A_{1}KC_{1}$ равен: $$P_{A_{1}KC_{1}} = A_{1}C_{1} + A_{1}K + C_{1}K = A_{1}C_{1} + 2A_{1}K = 6 + 2\cdot 5 = 16.$$

$$\boxed{16}$$