Тип 20 № 13996

а) Да, может: $a_1=128, \; a_2 = 224,\; a_3 =392,\; a_4=686$ и знаменатель прогрессии $q=\dfrac{7}{4}$

б) Заметим, что $128=2^7$. Множитель 31 — простое число, тогда 496 может быть только вторым членом геометрической прогрессии. Тогда $q=\dfrac{496}{128}=\dfrac{31}{8}$, отсюда третий член прогрессии $$b_3 = 496 \cdot \dfrac{31}{8} = 1922$$ 1922 — четырехзначное число, противоречит условию.

в) Чтобы все члены прогрессии были натуральными, ее знаменатель должен иметь вид $q=\dfrac{a}{2^k}, k \in \mathbb{N}$. Если прогрессия состоит из трех членов то $q=\dfrac{a}{8}$. Кроме того, $q<3$, так как $b_3 = 128\cdot q^2 = 128\cdot 3^2 = 1152 > 999 $.

Тогда возможные $q: \quad \dfrac{23}{8}, \dfrac{22}{8}, \dfrac{21}{8}, \; ...$

Если $q=\dfrac{23}{8}:    128,; 368,; 1058 $ — не подходит

Если $q=\dfrac{22}{8}:   128,; 352,; 968 $ — наибольшее число 968.

Допустим в прогрессии больше трех членов, тогда $1<q<2$, так как $128\cdot 2^3 > 999$. Кроме того, знаем, что $q=\dfrac{a}{2^k}, k \in \mathbb{N}$. Можем ограничить значения для $k$. Если $k=4$, то прогрессия будет иметь вид: $128, 8a, \dfrac{a^2}{2}, ...$ — всего 2 натуральных члена последовательности. Отсюда $k=1,2,3$.

Пусть $k=3$ $$\dfrac{a}{2^3}<2 \quad a<16$$ При максимальном $a=15$ получим прогрессию: $128, 240, 450, 843\dfrac{3}{4}, ...$. В последовательности только натуральные числа могут быть, поэтому максимальное здесь 450.

Пусть $k=2$. Тогда $4<a<8$, значит, $q$ может быть $\dfrac{7}{4}$, $\dfrac{6}{4}$ или $\dfrac{5}{4}$.

При $q=\dfrac{7}{4}$ получим: $128, 224, 392, 686, 1200,5, ... $. Наибольшее 686.

При $q=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ получим: $128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, ...$. Наибольшее 972.

При $q=\dfrac{5}{4}$ получим: $128, 160, 200, 250, 312,5, ...$. Наибольшее 250.

Пусть $k=1$, тогда $a=3$, а значит, $q=\dfrac{3}{2}$, получим ту же последовательность с наибольшим числом 972.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 972.