Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Источник: Решу ЕГЭ
Решение:
а) Пусть — первый член прогрессии, — делитель. Получим 1512 не является корнем 5-ой степени, значит такого быть не может.
б) Так как слева четвертая степень есть, а справа максимальная степень — 3, то при целых такого быть не может. Если . Тогда . Значит, . Это невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
в) Пусть . И пусть . Тогда получим: 3, 6, 12, 7, 1.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) Да.