Тип 19 № 15471

Упорядочим числа по возрастанию: $$a_1 < a_2 < \dots < a_{60}.$$

Сумма любых двух чисел из набора не меньше, чем сумма двух самых маленьких, то есть $$a_1 + a_2 \le a_i + a_j,$$ где $1 \le i,j \le 60$.

Сумма любых шести чисел из набора не больше, чем сумма шести самых больших, то есть $$a_k + a_l + a_m + a_n + a_o + a_p \le a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60},$$ где $1 \le k,l,m,n,o,p \le 60$.

При этом между парой чисел $a_1, a_2$ и шестёркой чисел $a_{55}, a_{56}, a_{57}, a_{58}, a_{59}, a_{60}$ это неравенство тоже выполняется: $$a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2.$$

Возьмём любую шестёрку чисел $a_k, a_l, a_m, a_n, a_o, a_p$. Сумма в ней меньше, чем сумма любых двух чисел $a_i, a_j$. Получаем цепочку неравенств: $$a_k + a_l + a_m + a_n + a_o + a_p \le a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2 \le a_i + a_j.$$

То есть достаточно проверить, что выполняется неравенство между парой самых маленьких чисел и шестёркой самых больших, тогда для любых других пар и шестёрок чисел неравенство будет выполнено.

a) Возьмём числа $$-458,\,-457,\,-456,\,\dots,\,-401,\,-400,\,400.$$ Сумма двух самых маленьких чисел: $$-458 + (-457) = -915.$$ Сумма шести самых больших чисел: $$-404 + (-403) + (-402) + (-401) + (-400) + 400 = -1610,$$ причём $-1610 < -915$. Следовательно, этот набор чисел подходит.

б) Подходит набор чисел из пункта (a).

в) Пусть набор чисел $$a_1 < a_2 < \dots < a_{59} < a_{60}$$ удовлетворяет условию.

Рассмотрим новый набор чисел, в котором последние шесть чисел останутся такими же, а все числа $a_i$, начиная с $a_{54}$, будут последовательно заменены на $a_{i+1}-1$. То есть сначала заменим $a_{54}$ на $a_{55}-1$, затем $a_{53}$ на $a_{54}-1$ и так далее. Получим новый набор: $$a_{55}-54,\ a_{55}-53,\ \dots,\ a_{55}-1,\ a_{55},\ a_{56},\ a_{57},\ a_{58},\ a_{59},\ a_{60}.$$

Обозначим этот набор за $b_i$. Каждое число $b_i \ge a_i$, поэтому $$b_1 + b_2 \ge a_1 + a_2,$$ а числа $b_{55},\dots,b_{60}$ совпадают с $a_{55},\dots,a_{60}$, значит $$b_{55} + b_{56} + b_{57} + b_{58} + b_{59} + b_{60} = a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_1 + a_2 \le b_1 + b_2.$$

Следовательно, набор $b_i$ удовлетворяет условию: в нём сумма любой пары чисел больше, чем сумма любой шестёрки чисел.

При этом $$b_1 + b_2 = (a_{55}-54) + (a_{55}-53) = 2a_{55}-107 > a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60}.$$ Отсюда $$a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < a_{55}-107.$$

Так как $a_{56},\dots,a_{60}$ — пять различных целых чисел, больших $a_{55}$, то $$(a_{55}+1)+(a_{55}+2)+(a_{55}+3)+(a_{55}+4)+(a_{55}+5) = 5a_{55}+15 \le a_{56}+a_{57}+a_{58}+a_{59}+a_{60}.$$

Тогда $$5a_{55}+15 < a_{55}-107 \quad\Rightarrow\quad 4a_{55} < -122 \quad\Rightarrow\quad a_{55} < -31.$$

Увеличим $a_{55}$ до $-31$, а числа $a_1,\dots,a_{54}$ последовательно увеличим до $$-85,\,-84,\,\dots,\,-32.$$ Получим набор: $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\ a_{56},\ a_{57},\ a_{58},\ a_{59},\ a_{60}.$$

Сумма двух самых маленьких чисел равна $$-85 + (-84) = -169.$$ Из условия получаем $$-31 + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} < -169,$$ то есть $$a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60} \le -139.$$

Наибольшая сумма достигается либо в наборе $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\,-30,\,-29,\,-28,\,-27,\,-26,$$ либо в наборе $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31,\,-30,\,-29,\,-28,\,-27,\,-25.$$

Во втором случае сумма шести самых больших чисел равна $$-31-30-29-28-27-25 = -170,$$ а сумма двух самых маленьких равна $-169$, и $-170 < -169$, значит условие выполнено.

Сумма всех $55$ чисел $$-85,\,-84,\,\dots,\,-31$$ равна $$\frac{(-85 + (-31))\cdot 55}{2} = -3190.$$ Сумма последних пяти чисел равна $-139$, поэтому наибольшая сумма такого набора равна $$-3190 + (-139) = -3329.$$

Ответ: $$\text{a) Да,\quad б) Да,\quad в) } -3329.$$