Тип 16 № 15780

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 312\,500$ рублей.
$r=25\%$ значит $k=1.25$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0:

$$1.25^4S - (1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)x = 0$$ $$1.25=\frac{5}{4}$$ $$S = \frac{\frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1}{\frac{625}{256}} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрческую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = \frac{5}{4}$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + \frac{5}{4} + \frac{25}{16} + \frac{125}{64} = \frac{\frac{625}{256} - 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{ - 1}{\frac{1}{4}} = 4( \frac{625}{256}- 1)$$ $$S = \frac{4(\frac{625}{256} - 1)}{\frac{625}{256}} \cdot x = 4\left(1 - \frac{1}{\frac{625}{256}}\right) \cdot x$$

Подставим $x = 312\,500$: $$S = 4\left(1 - \frac{256}{625}\right) \cdot 312\,500 = 4 \cdot \frac{369}{625} \cdot 3\,125$$ $$S = 4 \cdot 369\cdot 5 = 738\,000$$

Ответ: 738,000