Тип 16 № 15781

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 324\,000$ рублей.
$r=20\%$ значит $k=1.2$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0: $$1.2^4S - (1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1)x = 0$$ $$S = \frac{1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1}{1.2^4} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрическую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = 1.2$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + 1.2 + 1.2^2 + 1.2^3 = \frac{1.2^4 - 1}{1.2 - 1} = \frac{1.2^4 - 1}{0.2} = 5(1.2^4 - 1)$$ $$1.2^4 = \left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{1296}{625}$$ $$S = 5\left(1 - \frac{625}{1296}\right) \cdot x = 5 \cdot \frac{1296 - 625}{1296} \cdot x = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot x$$ Подставим $x = 324\,000$: $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000 = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000$$ $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot \frac{1296}{4} \cdot 1000 = 5 \cdot 671 \cdot 250= 838\,750$$

Ответ: 838,750