Тип 13 № 15805

а) Преобразуем уравнение: $$\cos x \cdot \cos 2x - \sin^2 x - \cos x = 0.$$ Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$\cos x \cdot (2\cos^2 x - 1) - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - \cos x - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - \sin^2 x = 0.$$ Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2\cos^3 x - 2\cos x - (1 - \cos^2 x) = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - 1 + \cos^2 x = 0,$$ $$2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0.$$ Сгруппируем: $$(2\cos^3 x - 2\cos x) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$2\cos x(\cos^2 x - 1) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$(\cos^2 x - 1)(2\cos x + 1) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos^2 x - 1 = 0$: $$\cos^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\cos x + 1 = 0$: $$\cos x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $$x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$$

Ответ: а) $\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z};$

б) $-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$