Тип 19 № 15826

а) Распишем последовательность чисел в порядке возрастания: $$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < \dots < a_{49} < a_{50}.$$

По условию сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора. Рассмотрим крайний случай, так как если он возможен, то условие выполняется и для всех остальных чисел: $$a_1 + a_2 + a_3 > a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50}.$$

Пусть наш набор чисел начинается с $-300$: $$-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -256,\ -255,\ -254,\ -253,\ -252,\ -251.$$

Получаем: $$a_1 + a_2 + a_3 = -300 + (-299) + (-298) = -897,$$ $$a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50} = -255 + (-254) + (-253) + (-252) + (-251) =$$ $$= \left( \frac{-255 + (-251)}{2} \right) \cdot 5 = \left( \frac{-506}{2} \right) \cdot 5 = -253 \cdot 5 = -1265.$$

Проверим: $$-897 > -1265,$$ условие выполняется.

Ответ: Да, может: $-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -255,\ -254,\ -253,\ -252,\ -251$.

б) Рассмотрим последовательность чисел начиная с $-1000$ (так как необходимо, чтобы правая часть была меньше левой — более отрицательная), и последнее число в последовательности равно $300$: $$-1000,\ -999,\ -998,\ \ldots,\ -956,\ -955,\ -954,\ -953,\ -952,\ -951,\ \ldots,\ 300.$$

Пусть: $$a_1 = -1000,\quad a_2 = -999,\quad a_3 = -998,$$ $$a_{46} = -955,\quad a_{47} = -954,\quad a_{48} = -953,\quad a_{49} = -952,\quad a_{50} = 300.$$

Сумма трёх наименьших: $$a_1 + a_2 + a_3 = -1000 -999 -998 = -2997,$$ Сумма пяти наибольших: $$a_{46} + a_{47} + a_{48} + a_{49} + a_{50} = -955 -954 -953 -952 + 300.$$

Посчитаем: $$-955 -954 -953 -952 = -3814, \quad \Rightarrow\quad -3814 + 300 = -3514.$$

$$-2997 > -3514,$$ значит условие выполняется.

Ответ: Да, может: $-300,\ -299,\ -298,\ -297,\ -296,\ \ldots,\ -253,\ -252,\ -251$.

в) Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы было некоторое количество отрицательных чисел, поэтому нужно максимизировать сумму, подбирая числа так, чтобы ограничение ещё выполнялось. А сумма будет наибольшей, когда числа находятся в арифметической прогрессии с наименьшим шагом, то есть последовательные числа, находящиеся максимально близко друг к другу.

Запишем последовательность в общем виде: $$a_1,\ a_1 + 1,\ a_1 + 2,\ a_1 + 3,\ a_1 + 4,\ \ldots,\ a_1 + 48,\ a_1 + 49.$$

Получаем: $$a_1 + a_1 + 1 + a_1 + 2 > a_1 + 45 + a_1 + 46 + a_1 + 47 + a_1 + 48 + a_1 + 49,$$ $$3a_1 + 3 > 5a_1 + 235,$$ $$-2a_1 > 232 \quad \Rightarrow \quad a_1 < -116.$$

Так как $a_1$ — целое, максимальное значение: $a_1 = -117$.

Рассмотрим последовательность чисел начиная с $a_1 = -117$: $$-117,\ -116,\ -115,\ -114,\ \ldots,\ -69,\ -68.$$

Проверим условие: $$-117 + (-116) + (-115) = -348,$$ $$a_{46} = -72,\ a_{47} = -71,\ a_{48} = -70,\ a_{49} = -69,\ a_{50} = -68.$$ $$\text{Сумма пяти: } \left( \frac{-72 + (-68)}{2} \right) \cdot 5 = (-70) \cdot 5 = -350.$$

$$-348 > -350,$$ условие выполнено.

Теперь найдём сумму всех 50 чисел: $$\frac{-117 + (-68)}{2} \cdot 50 = \frac{-185}{2} \cdot 50 = -4625.$$

Но если изменить последнее значение с $-68$ на $-67$, получим: $$-117,\ -116,\ \ldots,\ -69,\ -67,$$

Сумма трёх наименьших: $$-117 -116 -115 = -348,$$ Сумма пяти наибольших: $$-71 -70 -69 -68 -67 = -345.$$

$$-348 > -345 \quad \text{– неверно}.$$

Значит, больше увеличить сумму нельзя. Проверим сумму: $$\frac{-117 + (-69)}{2} \cdot 49 + (-67) = -93 \cdot 49 + (-67) = -4557 - 67 = -4624.$$

Ответ: Наибольшая сумма чисел данного набора равна $-4624$.