( ∗ ) 2 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 (*) \quad 2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 ( ∗ ) 2 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
Исходное уравнение равносильно:
[ 2 − x = 0 4 x − 3 ⋅ 2 x + 3 a − a 2 = 0 \left[\begin{aligned}
&2 - x = 0\\
&4^x - 3\cdot2^x + 3a - a^2 = 0
\end{aligned}\right. [ 2 − x = 0 4 x − 3 ⋅ 2 x + 3 a − a 2 = 0
Исходное уравнение имеет как минимум 1 корень x = 2 x = 2 x = 2 a a a
Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных решения, необходимо чтобы уравнение 4 x − 3 ⋅ 2 x + 3 a − a 2 = 0 4^x - 3\cdot2^x + 3a - a^2 = 0 4 x − 3 ⋅ 2 x + 3 a − a 2 = 0
Сделаем замену 2 x = t 2^x = t 2 x = t
При t > 0 t > 0 t > 0 x x x
При t = 0 t = 0 t = 0 x x x
При $t < 0 $ – 0 решений x x x
С учётом ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ≤ 2 ⇒ t ≤ 4 x \leq 2 \Rightarrow t \leq 4 x ≤ 2 ⇒ t ≤ 4
Так как при t = 4 t = 4 t = 4 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 t t t ( 0 ; 4 ) (0; 4) ( 0 ; 4 )
t 2 − 3 t + 3 a − a 2 = 0 t^2 - 3t + 3a - a^2 = 0 t 2 − 3 t + 3 a − a 2 = 0
Чтобы уравнение относительно t t t 4 4 4
[ { f ( 0 ) > 0 f ( 4 ) < 0 { f ( 0 ) ≤ 0 f ( 4 ) > 0 { D = 0 t в > 0 ⇔ [ { 3 a − a 2 > 0 16 − 12 + 3 a − a 2 < 0 { 3 a − a 2 ≤ 0 16 − 12 + 3 a − a 2 > 0 { 9 − 12 a + 4 a 2 = 0 1 , 5 > 0 ⇔ \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
f(0) > 0\\
f(4) < 0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
f(0) \leq 0\\
f(4) > 0
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
D = 0\\
t_{\text{в}} >0
\end{cases}
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
3a - a^2 > 0\\
16 - 12 + 3a - a^2 <0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
3a - a^2 \leq 0\\
16 - 12 + 3a - a^2 > 0
\end{cases}
\\
&\begin{cases}
9 - 12a + 4a^2 = 0\\
1,5 >0
\end{cases}
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow { f ( 0 ) > 0 f ( 4 ) < 0 { f ( 0 ) ≤ 0 f ( 4 ) > 0 { D = 0 t в > 0 ⇔ { 3 a − a 2 > 0 16 − 12 + 3 a − a 2 < 0 { 3 a − a 2 ≤ 0 16 − 12 + 3 a − a 2 > 0 { 9 − 12 a + 4 a 2 = 0 1 , 5 > 0 ⇔ ⇔ [ { a ( 3 − a ) > 0 a 2 − 3 a − 4 > 0 { a ( 3 a − a ) ≤ 0 a 2 − 3 a − 4 < 0 9 − 12 a + 4 a 2 = 0 ⇔ [ { a ∈ ( 0 ; 3 ) a ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) { a ∈ ( − ∞ ; 0 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) a ∈ ( − 1 ; 4 ) ( 2 a − 3 ) 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
a(3 - a) > 0\\
a^2 -3a -4 >0
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a(3a - a) \leq 0\\
a^2 -3a -4 < 0
\end{cases}
\\
&9 - 12a + 4a^2 = 0\\
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
a \in (0; 3)\\
a \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)
\end{cases}\\
&\begin{cases}
a \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\\
a \in (-1; 4)
\end{cases}
\\
&(2a - 3)^2 = 0
\end{aligned}\right. ⇔ { a ( 3 − a ) > 0 a 2 − 3 a − 4 > 0 { a ( 3 a − a ) ≤ 0 a 2 − 3 a − 4 < 0 9 − 12 a + 4 a 2 = 0 ⇔ { a ∈ ( 0 ; 3 ) a ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) { a ∈ ( − ∞ ; 0 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) a ∈ ( − 1 ; 4 ) ( 2 a − 3 ) 2 = 0
Первая система не имеет пересечений.
Вторая даёт решение:
a ∈ ( − 1 ; 0 ] ∪ [ 3 ; 4 ) a \in (-1; 0] \cup[3; 4) a ∈ ( − 1 ; 0 ] ∪ [ 3 ; 4 )
Третье условие даёт a = 1 , 5 a = 1,5 a = 1 , 5
Объединяя решения, получаем ответ:
a ∈ ( − 1 ; 0 ] ∪ { 1 , 5 } ∪ [ 3 ; 4 ) a \in (-1; 0] \cup \{1,5\} \cup [3; 4) a ∈ ( − 1 ; 0 ] ∪ { 1 , 5 } ∪ [ 3 ; 4 )
Ответ: ( − 1 ; 0 ] ∪ { 1 , 5 } ∪ [ 3 ; 4 ) (-1; 0] \cup \{1,5\} \cup [3; 4) ( − 1 ; 0 ] ∪ { 1 , 5 } ∪ [ 3 ; 4 )