Тип 14 № 15874

а)

Обозначим $AD = p$, $h$ — высота призмы. Тогда объём призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ равен $$V_0 = \frac{b + 4b}{2} \cdot p \cdot h = \frac{5}{2} bph$$

Проведем $CN \parallel AD$, $NN_1 \parallel AA_1$. Тогда $ANCDA_1N_1C_1D_1$ — призма, в основании которой лежит прямоугольник, а высота этой призмы равна $h$. Следовательно, её объём равен $$V_{\text{prism}} = bph$$

Пусть $D_1K \perp AD$, $D_1K = k$, $BM \perp (AA_1 D_1)$, $BM = m$. Тогда $$V_{\text{prism}} = k \cdot p \cdot \frac{1}{4} m$$ Тогда получаем $$bph = \frac{1}{4} kpm \quad \Leftrightarrow \quad km = 4bh$$

Значит, $$V_1 = V_{A_1 D_1 D N_1 C_1 C} = \frac{1}{2} V_{\text{prism}} = \frac{1}{2} bph$$

$B_1 N_1 C_1 C$ — треугольная пирамида, высота которой, проведенная из вершины $B_1$, равна $\frac{3}{4} m$. Следовательно, её объём равен $$V_2 = V_{B_1 N_1 C_1 C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} m \cdot \frac{1}{2} kp = \frac{1}{8} kpm = \frac{1}{2} bph$$

Следовательно, объём многогранника $DA_1 D_1 C B_1 C_1$, образованного плоскостью $(CDA_1)$, равен $$V_{01} = V_1 + V_2 = \frac{1}{2} bph + \frac{1}{2} bph = bph$$

Тогда объём оставшейся части равен $$V_{02} = V_0 - V_{01} = \frac{5}{2} bph - bph = \frac{3}{2} bph$$

Следовательно, $$V_{02} : V_{01} = \frac{3}{2} bph : bph = 3 : 2$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $c = \alpha b$, $\alpha > 1$. Определим, возможен ли такой случай, учитывая данные. Этому случаю соответствует рисунок, приведенный в решении пункта а). Используя обозначения пункта а), получаем

$$V_0 = \frac{b + \alpha b}{2} \cdot p \cdot h = \frac{1 + \alpha}{2} bph$$

$$bph = V_{\text{prism}} = kp \cdot \frac{1}{\alpha} m \quad \Rightarrow \quad km = \alpha bh$$

$$V_1 = \frac{1}{2} V_{\text{prism}} = \frac{1}{2} bph$$

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha} m \cdot \frac{1}{2} kp = \frac{\alpha - 1}{6\alpha} kpm = \frac{\alpha - 1}{6} bph$$

$$V_{01} = V_1 + V_2 = \frac{\alpha + 2}{6} bph$$

Следовательно, $$V_{02} = V_0 - V_{01} = \frac{2\alpha + 1}{6} bph$$

$$2 : 3 = V_{02} : V_{01} = (2\alpha + 1) : (\alpha + 2) \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{1}{4}$$

Следовательно, этот случай невозможен, так как $\alpha > 1$.

Пусть $b = \alpha c$, $\alpha > 1$. Проверим возможность такого случая. Рассмотрим рисунок, соответствующий этому случаю:

$$V_0 = \frac{\alpha + 1}{2} cph$$

$$cph = V_{\text{prism}} = \frac{1}{\alpha} mpk \quad \Rightarrow \quad km = \alpha ch$$

$$V_1 = \frac{1}{2} cph$$

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha} m \cdot \frac{1}{2} kp = \frac{\alpha - 1}{6} cph$$

$$V_3 = V_{CB_1 C_1 N_1} = \frac{1}{3} h \cdot S_{B_1 C_1 N_1} = \frac{1}{3} h \cdot \frac{1}{2} p \cdot (\alpha - 1) c = \frac{\alpha - 1}{6} cph$$

$$V_{01} = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{2\alpha + 1}{6} cph \quad\quad V_{02} = V_0 - V_{01} = \frac{\alpha + 2}{6} cph$$

Тогда $$\frac{2}{3} = \frac{V_{02}}{V_{01}} = \frac{\alpha + 2}{2\alpha + 1} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = 4$$

Этот случай является единственно возможным.

По условию $\alpha c = 5$, $p = 4$. Следовательно, $4c = 5 \quad \Leftrightarrow \quad c = \frac{5}{4}$.

Тогда можем найти высоту призмы:

$$\frac{\alpha + 1}{2} cph = V_0 = 30 + 20 = 50 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{25}{2} h = 50 \quad \Leftrightarrow \quad h = 4$$

Ответ:

б) 4