Тип 18 № 15884

Пусть $|x| = t$, где $t > 0$. Тогда исходное уравнение перепишется как: $$a^2 - 9t^2 + 18t - 9 = 0,$$ или, что то же самое: $$9t^2 - 18t + 9 - a^2 = 0.$$

Обозначим это как квадратное уравнение по переменной $t$. Проанализируем случаи, при которых исходное уравнение имеет ровно два различных корня по $x$.

1. Один положительный корень

Это возможно, если уравнение относительно $t$ имеет один положительный корень (то есть кратный корень $t_0 > 0$). Для этого необходимо: $$\begin{cases} D = 0, \\ -\dfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 18^2 - 4 \cdot 9 \cdot (9 - a^2) = 0, \\ \dfrac{18}{18} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 324 - 324 + 36a^2 = 0, \\ 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow a = 0.$$

2. Два корня, один положительный, другой отрицательный

Здесь нужно, чтобы: $$\begin{cases} D > 0, \\ \text{произведение корней} < 0 \end{cases}$$

Поскольку уравнение имеет вид $9t^2 - 18t + 9 - a^2 = 0$, то: $$\begin{cases} 36a^2 > 0, \\ \frac{9 - a^2}{9} < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \neq 0, \\ (3 - a)(3 + a) < 0 \end{cases} \Rightarrow a < -3 \quad \text{или} \quad a > 3.$$

3. Итоговый ответ

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a = 0, \quad a < -3, \quad a > 3.$$

Ответ:    $a \in (-\infty; -3) \cup \{0\} \cup (3; +\infty)$.