Квадратичные функции

Сделаем замену $t = |x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|$.

$$t^2 + at + a^2 - 48 = 0$$

Построим график зависимости $t$ от $x$ и проанализируем его. Для этого последовательно раскроем модули.

$$\begin{cases} t = x - 2a -1 + x -2a + 1 , \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 + x - 2a + 1, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 - x + 2 a - 1, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} t = 2x - 4a, \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = 2, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -2x + 4a, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}$$

Строим график:

Заметим, что при:

1. $t < 2$ исходное уравнение не будет иметь решений.

2. $t = 2$ исходное уравнение будет иметь бесконечно много решений.

3. $t > 2$ исходное уравнение будет иметь 2 решения для каждого такого значения $t$.

Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:

a) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ имеет ровно 1 корень, больший $2$.

б) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ будет иметь 2 различных корня, один из которых строго больше $2$, а второй строго меньше $2$.

Последовательно рассмотрим данные случаи:

а) Зададим необходимые условия и составим систему:

$$\begin{cases} D = 0\\ t_{0} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4a^2+ 192 = 0\\ -\tfrac{a}{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 192 = 0\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \pm8\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow a = -8$$

б) Графиком квадратичной функции $t^2 + at + a^2 - 48$ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ находились по разные стороны от точки $t = 2$ необходимо, чтобы значение функции в этой точке было строго отрицательным: $$f(t) = t^2 + at + a^2 - 48$$

$$f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 + 2a + a^2 - 48 < 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a - 44 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a < -1 + 3\sqrt{5}\\ a > -1 - 3\sqrt5 \end{cases}$$

Объединяя полученные значения, получаем:

$$(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$$

Ответ: $(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$

Уравнение будет иметь не более одного корня если:

a) Уравнение квадратное и $D \leq 0$.

б) Уравнение станет линейным при $a = -1$.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

а)

$$\begin{cases} D \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4(a + 1)(a - 3) \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3a^2 + 8a + 12 \leq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 8a - 12 \geq 0 \\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &a \leq \tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\\ &a \geq \tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3}\\ \end{aligned}\right.\\ a \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left(-\infty;\tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\right] \cup \left[\tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$$

б) $a = -1$

Уравнение примет вид:

$$0\cdot x^2 + x + -1 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Уравнение имеет единственный корень $x = 4$, значит $a = -1$ нам подходит.

Ответ: $\left(-\infty;\tfrac{4 - 2\sqrt{13}}{3}\right] \cup \{-1\} \cup \left[\tfrac{4 + 2\sqrt{13}}{3};+\infty\right)$

Сделаем замену $t = 5^x$ и проанализируем её.

$t \leq 0$ – $0$ решений $x$

$t > 0$ – $1$ решение $x$

Исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень в том случае, если:

1. $D = 0$ и корень положителен.

2. Один из корней уравнения положителен, а второй неположителен.

$$t^2 - 2(a +1)t + 9a - 5 = 0$$

$$D = 4(a + 1)^2 - 4(9a - 5) = 0 \Leftrightarrow 4a^2 + 8a + 4 - 36a + 20 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 4a^2 - 28a + 24 = 0 \Leftrightarrow a^2 - 7 a + 6 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \text{ или } a = 6$$

Найдём корни уравнения при данных значениях параметра:

a = 1

$$t^2 - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$$

Данное значение параметра нам подходит.

a = 6

$$t^2 -14t + 49 = 0 \Leftrightarrow t = 7$$

Данное значение параметра нам подходит.

1. Для того чтобы один из корней квадратного уравнения был всегда положителен, а второй всегда неположителен, необходимо чтобы выполнялось условие: $f(0) \leq 0$

$$f(0) \leq 0 \Leftrightarrow 9a - 5 \leq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{5}{9}$$

Также необходимо проверить, что при $f(0) = 0$ второй корень уравнения строго положителен:

$$f(0) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{5}{9}$$ $$t^2 - 2\left(\frac{5}{9} + 1\right)t + 5 - 5 = 0 \Leftrightarrow t\left(t - \frac{28}{9}\right) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \text{ или } t = \frac{28}{9}$$

Значит, $a = \frac{5}{9}$ нам подходит.

Объединяя полученные значения параметра, получаем: $a\in\left(-\infty; \frac{5}{9}\right] \cup \{1; 6\}$

Ответ: $\left(-\infty; \frac{5}{9}\right] \cup \{1; 6\}$

Сделаем замену $t = |x|$, $t > 0$: $$a^2 - 9t^2 + 18t - 9 = 0$$ $$9t^2 - 18t + 9 - a^2 = 0$$

Случай 1: Уравнение имеет один положительный корень (кратности 2). $$\begin{cases} D = 0 \\ t_0 = -\frac{b}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 = 0, \\ \frac{18}{18} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = 0$$

Случай 2: Уравнение имеет два корня, один положительный, другой отрицательный. $$\begin{cases} D > 0, \\ \frac{c}{a} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 > 0 \\ \frac{9 - a^2}{9} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 0\\ (3 - a)(3 + a) < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 0 \\ \left[\begin{aligned} &a < -3\\ &a > 3 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Объединяем решения: $$a \in (-\infty, -3) \cup \{0\} \cup (3, +\infty)$$

Ответ: $(-\infty, -3) \cup \{0\} \cup (3, +\infty)$.

Сделаем замену $x^2 = t\geq 0$

При $t = 0$ – 1 решение $x$.

При $t > 0$ – 2 решения $x$.

Получаем уравнение: $$|a - 2|t^2 -2at + |a - 12| = 0$$

Если данное уравнение будет иметь хотя бы одно положительное решение, то исходное уравнение будет иметь хотя бы 2 решения. Запишем необходимые условия для данной ситуации:

$$\begin{cases} D\geq 0 (1)\\ t_0 > 0 (2)\\ \frac{c}{a} \geq 0 (3) \text{ произведение корней неотрицательно} \end{cases}$$

Решим данные неравенства по отдельности:

$$4a^2 - 4|(a - 2)(a - 12)| \geq 0 \Leftrightarrow a ^2 \geq |(a - 2)(a - 12)|$$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$a^4 \geq (a - 2)^2(a - 12)^2 \Leftrightarrow (a^2 - (a - 2)(a - 12))(a^2 + (a - 2)(a - 12)) \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (14a - 24)(2a^2 - 14a + 24) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (7a - 12)(a^2 - 7a + 12) \geq 0 \Leftrightarrow(7a - 12)(a - 4)(a - 3) \geq 0$$

Воспользуемся методом интервалов:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

$$\frac{2a}{2|a - 2|} > 0 \Leftrightarrow a > 0$$

$$\frac{|a - 12|}{|a - 2|} \geq 0 \Leftrightarrow a \in R$$

При подстановке в уравнение $a = 2$ оно примет вид: $$t = \frac{|-10|}{4} = 2,5$$ что нам также подходит, поэтому мы берём это значение параметра в ответ.

Пересекая $(1), (2), (3)$, получаем:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

Ответ: $\left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$