Тип 18 № 15885

Сделаем замену $$t=3^{\cos x}.$$ Так как $\cos x\in[-1;1]$, то $$t\in\left[\frac13;3\right].$$

Тогда исходное уравнение примет вид $$(t-1)a^2-(t+1)a-2t=0.$$

Следовательно, необходимо найти такие значения $a$, при которых данное уравнение имеет хотя бы одно решение $t$ из отрезка $$t\in\left[\frac13;3\right].$$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по $t$: $$a^2t-a^2-at-a-2t=0,$$ $$t(a^2-a-2)=a^2+a,$$ $$t(a+1)(a-2)=a(a+1).$$

Рассмотрим возможные случаи.

1) $a=-1$.

Тогда исходное уравнение принимает вид $$0=0.$$ Решением являются все $t$ из допустимого промежутка, значит данный случай подходит.

2) $a=2$.

Тогда получаем $$0=6.$$ Такое уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай не подходит.

3) $a\neq -1$, $a\neq 2$.

Тогда $$t=\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-2)}=\frac{a}{a-2}.$$

Нужно, чтобы $$\frac13\le \frac{a}{a-2}\le 3.$$

Решая данное двойное неравенство, получаем $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$

Так как случай $a=2$ уже исключён, объединяя все подходящие значения, окончательно получаем

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$