Тип 18 № 16302

Разберём первое уравнение системы: $$\begin{cases} x+4>0\\ (y-2)(xy-4)=0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>-4\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Поэтому исходная система равносильна системе: $$\begin{cases} x>-4\\ y=ax\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=ax$ - семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$, имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in (0; 0.25] \cup \{1\}$