Относительное движение графиков

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy - x + 7 = 0\\ &y - x + 7 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = -\tfrac{7}{x} + 1\\ &y = x - 7 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases}$$

Уравнение $y = 3x + a$ представляет собой множество прямых, которые параллельны прямой $y = 3x$. Параметр в данном случае будет перемещать график вдоль оси $OY$.

Для того чтобы исходная система имела ровно $2$ различных решения, график прямой $y = 3x + a$ должен иметь ровно $2$ пересечения с остальными графиками функций.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим все значения параметра, постепенно увеличивая его. Начиная от $-\infty$ мы будем иметь 3 решения исходной системы, так как прямая $y = 3x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках, а также пересекать прямую $y = x - 7$.

Увеличивая значение параметра, мы придём к случаю, когда прямая $y = 3x + a$ пересечёт прямую $y = x - 7$ и гиперболу $y = 1 - \tfrac{7}{x}$ в их общей точке $(7; 0)$. В этом случае исходная система будет иметь ровно 2 решения. Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в уравнение $y = 3x + a$

$$y = 3x + a \Leftrightarrow a = y - 3x = 0 - 21 = -21$$

После этого, продолжая увеличивать значения параметра, мы снова будем получать по $3$ решения исходной системы, пока не попадём во вторую общую точку гиперболы и прямой $y = x - 7$, которая имеет координаты $(1; -6)$.

Найдём значение параметра по такому же принципу:

$$a = y - 3x = -6 - 3 = -9$$

Продолжая увеличивать значения параметра, мы все также будем получать по $3$ решения, пока прямая $y = 3x + a$ не дойдёт до момента касания с правой ветвью гиперболы. Затем будем получать всего 1 пересечение с прямой $y = x - 7$ до тех пор, пока второй раз не коснёмся уже левой ветви гиперболы.

В этих точках исходная система снова будет иметь $2$ решения.

Найдём точки касания прямой $y = 3x + a$ и гиперболы $y = 1 - \tfrac{7}{x}$.

$$3x + a = 1 - \frac{7}{x} \Leftrightarrow 3x^2+ (a - 1)x + 7 = 0$$ Чтобы данное уравнение имело единственное решение, нужно чтобы дискриминант был равен $0$:

$$D = (a - 1)^2 - 84 = 0 \Leftrightarrow (a - 1 - \sqrt{84})(a - 1 + \sqrt{84}) = 0 \Leftrightarrow a= 1 \pm \sqrt{84} \Leftrightarrow a = 1 \pm2\sqrt{21}$$

Значение параметра $a = 1 + 2\sqrt{21}$ соответствует касанию с левой ветвью гиперболы, a $a = 1 - 2\sqrt{21}$ касанию с правой ветвью.

Увеличивая значение параметра , начиная с $a = 1 + 2\sqrt{21}$ мы будем получать по $3$ решения. И так до бесконечности.

Ответ: $\{-21; -9; 1 - 2\sqrt{21}; 1 + 2\sqrt{21}\}$

Обозначим левую часть уравнения за $g(x)$, а правую за $h(x)$. Уравнение будет иметь не более одного решения, если графики этих функций будут иметь не более одной точки пересечения.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \in (-\infty; -\tfrac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \in (-\tfrac{1}{2}; 2)\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

График функции $h(x)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Параметр в данном случае будет перемещать пораболу вверх или вниз вдоль прямой $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2$.

Из графика видно, что одна точка пересечения будет в том случае, когда парабола $y = -2x^2 - 8x + a$ коснётся левой ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$.

При дальнейшем увеличении значения параметра уравнение будет иметь уже более $1$ решения, так как будет более $1$ точки пересечения.

Найдём значение параметра, при котором будет касание:

$$-2x^2 - 8x + a = 2x^2 - 3x - 2 \Leftrightarrow4x^2 + 5x - 2 - a = 0$$ Получили квадратное уравнение. Чтобы существовало касание, необходимо, чтобы это уравнение имело одно решение. Для этого дискриминант должен быть равен нулю.

$$D = 25 + 16(2 + a) = 57 + 16 a = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{57}{16}$$

При данном значении параметра точка касания графиков функций будет иметь координаты $(-\tfrac{5}{8}; \tfrac{21}{32})$, что сходится с положением точки на графике.

Ответ: $\left(-\infty; -\frac{57}{16}\right]$

$$\begin{cases} (xy^2 - xy - 6y + 6)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy(y - 1) - 6(y - 1))\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy - 6)(y - 1)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy = 6\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y + 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = \tfrac{6}{x}\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y \geq -2 \end{cases}$$

Для того чтобы исходная система уравнений имела ровно $3$ различных решения, прямая $y = ax$ должна пересекать остальные графики функций ровно в $3$ точках. Прямая $y = ax$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$. Параметр $a$ в данном случае отвечает за наклон прямой. Построим графики соответствующих решений с учётом ограничений:

Проанализируем ключевые случаи. При $a \in (-\infty; 0)$ прямая $y = ax$ не будет пересекать график гиперболы $y = \frac{6}{x}$, следовательно система будет иметь всего 2 решения.

Далее, после перехода значения параметра через $0$, система будет иметь уже целых $4$ решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать обе ветви гиперболы и прямые $y = -2, y = 1$. И так будет продолжаться до тех пор, пока прямая $y = ax$ не пересечёт графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 1$ в их общей точке.

В этой ситуации система будет иметь ровно 3 решения, поэтому данный случай мы рассмотрим:

Найдём точку пересечения прямой $y = 1$ с гиперболой $y = \frac{6}{x}$:

$$\frac{6}{x} = 1 \Leftrightarrow x = 6$$

Точка пересечения: $(6; 1)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = ax$: $$1 = a\cdot6 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}$$

После этой точки, мы снова будем получать по $4$ решения исходной системы, пока прямая $y = ax$ не пересечёт общую точку гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$.

В этой точке исходная система снова будет иметь ровно 3 решения. После перехода через эту точку система также будет иметь ровно 3 решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать только правую ветвь гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямые $y = -2, y = 1$.

Значит, начиная с этой точки и до $+\infty$ все значения параметра $a$ мы берём в ответ. Найдём точку пересечения гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$:

$$-2 = \frac{6}{x} \Leftrightarrow x -3$$ Подставим координаты точки в уравнение $y = ax$: $$-2 = a\cdot(-3) \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\left\{\frac{1}{6}\right\} \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Разберём первое уравнение системы: $$\begin{cases} x+4>0\\ (y-2)(xy-4)=0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>-4\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Поэтому исходная система равносильна системе: $$\begin{cases} x>-4\\ y=ax\\ \left[ \begin{aligned} &y=2\\ &y=\frac{4}{x}\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=ax$ - семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$, имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in (0; 0.25] \cup \{1\}$

Система определена при выполнении условия $y \geq x - 8$.

Тогда система равносильна: $$\begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &xy - x + 8 = 0\\ &y - x + 8 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &y= 1 - \frac{8}{x}\\ &y = x - 8 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=2x + a$ - семейство прямых имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

До положения $1$ прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, следовательно система будет иметь ровно 1 решение, что нам не подходит.

От положения $1$ не включительно до положения $2$ включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать прямую $y = x - 8$ и правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$, следовательно система будет иметь ровно 2 решения, что нам подходит.

В положении $2$ прямая $y = 2x + a$ пересекает общую точку пересечения правой ветви гиперболы и прямой $y = x - 8$, что дает нам ровно 2 решения.

От положения $2$ не включительно до положения $3$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам 3 решения системы.

В положении $3$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться правой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения.

От положения $3$ не включительно до положения $4$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 1 решение.

В положении $4$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться левой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения системы.

От положения $4$ не включительно и выше прямая $y = 2x + a$ будет пересекать левую ветвь гиперболы в двух точках и прямую $y = x - 8$, что будет давать нам 3 решения.

Найдём значения параметра в граничных точках:

$$y = 2x + a \Leftrightarrow 0 = 2\cdot8 + a \Leftrightarrow a = -16$$

$$-7 = 2\cdot1 + a \Leftrightarrow a = -9$$

$$2x + a = 1 - \frac{8}{x} \Leftrightarrow \frac{2x^2+ ax- x + 8 }{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 + x(a - 1) + 8}{x} = 0$$ Когда данное уравнение будет иметь ровно 1 решение, мы получим значение параметра обеспечивающее нам касание графиков: $$D = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2 - 64 = 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) = 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = 9 \quad \text{или} \quad a = -7$$

Значение $a = -7$ соответствует положению $3$, а значение $a = 9$ соответствует положению $4$.

Следовательно, получаем ответ: $$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$$

$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$