Тип 18 № 16592

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение $ax+\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3$ Имеет единственное решение

Источник: ЕГЭ по математике 2013. Основная волна.

Решение:

Перепишем уравнение в виде $f(x)=g(x)$ , где $f(x)=\sqrt{9-(x+4)^2}$ $g(x)=-a(x-2)+3$ Графиком $y=f(x)$ является верхняя полуокружность окружности $y^2+(x+4)^2=9$ , график $y=g(x)$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$ .

Полученная система имеет единственное решение, когда $y=-a(x-2)+3$ - семейство прямых, проходящих через точку $(2;3)$ , имеет с графиком полуокружности ровно одну общую точку. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$ :

Значение $a$	Количество решений
$a<-1$	$0$
$-1\leq a<-\frac{1}{3}$	$1$
$-\frac{1}{3}\leq a<0$	$2$
$a=0$	$1$
$a>0$	$0$

Таким образом собираем ответ:

$a\in [-1; -\frac{1}{3}) \cup \{0\}$