Тип 999 № 17512

Разложим на множители исходное выражение: $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$$ Выходит, что исходное выражение представляет собой произведение трёх последовательных чисел (например при $n = 2, n - 1 = 1, n = 2, n + 1 = 3$).

Следовательно, при любом целом $n$, в произведении будут участвовать числа, которые делятся как на 2, так и на 3 $\Rightarrow$ всё число будет делиться на $6$, что и требовалось доказать.