Задание 19: Последовательности и прогрессии — ЕГЭ по математике

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.

a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?

б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?

в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?

Решение:

а) Построим подходящий пример: $128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29.$

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на $3$ . Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на $3$ не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа $128$ .

Число $128$ даёт остаток $2$ при делении на $3$ . Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен $2$ . Так как число $31$ даёт остаток $1$ при делении на $3$ , то из $128$ не могло получиться число $31$ .

в) Наименьшее натуральное число — это $1$ . Так как $1$ даёт остаток $1$ при делении на $3$ , а $128$ — остаток $2$ , то из числа $128$ не могло получиться число $1$ . Тогда наименьшее число, которое могло получиться из $128$ , — это $2$ .

Приведём два примера на число $2$ : $1)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{+24} 77 \xrightarrow{-42} 35 \xrightarrow{+24} 59$ $\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-42} 17 \xrightarrow{+24} 41 \xrightarrow{-15} 26 \xrightarrow{-24} 2.$

$2)\quad 128 \xrightarrow{-33} 95 \xrightarrow{-42} 53 \xrightarrow{-24} 29 \xrightarrow{+33} 62 \xrightarrow{-24} 38$ $\hspace{1.2cm} \xrightarrow{-33} 5 \xrightarrow{+15} 20 \xrightarrow{+6} 26 \xrightarrow{-24} 2.$

Замечание.

В решении пункта а) достаточно привести один пример.

Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) $2$ .