Тип 18 № 18153

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 6\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=6y+7\cdot 0^2+a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6+1=6y+a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$7=6\cdot 1+a$$ $$a=1$$

При $y=-1$ получаем: $$7=6\cdot (-1)+a$$ $$a=13$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=13$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+13$$ $$6\cdot 2^x+7x=6y+7x^2+12$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$12+7=6y+7+12$$ $$6y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=13$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=13$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+1$$ $$y=\frac{6\cdot 2^x+7x-7x^2}{6}=2^x+\frac76x-\frac76x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac76x \ge \frac76x^2$, следовательно, $\frac76x-\frac76x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac76x-\frac76x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$. Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ:

$$a \in \{1\}$$