Свойства четных/нечетных и монотонных функций

Сделаем замену $\sqrt{4x - x^2} = t \geq 0$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке $x = 2$ и равен $4$.

Тогда: $t \in [0; 2]$.

Имеем: $$t^4 - 32t = a^2 - 14a$$

Введём функцию $f(t) = t^4 - 32t$

Возьмём производную от этой функции и найдём её нули: $$f'(t) = 4t^3 - 32 = 0 \Leftrightarrow t = 2$$

Точка $t = 2$ является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке $[0; 2]$ она монотонно убывает.

$$f(0) = 0$$ $$f(2) = 16 - 64 = -48$$

Значения данной функции будут находиться в промежутке $[-48; 0]$ при $t \in [0; 2]$.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке $[-48; 0]$.

$$\begin{cases} a^2 - 14a \leq 0\\ a^2 - 14a \geq -48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(a - 14) \leq 0\\ a^2 - 14a + 48 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in [0; 14]\\ (a - 6)(a - 8) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \in [0; 6] \cup [8; 14]$$

Ответ: $[0; 6] \cup [8; 14]$

Сделаем замену $\sqrt{2x - x^2} = t \geq 0$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке $x = 1$ и равен $1$.

Тогда: $t \in [0; 1]$.

Имеем:

$$t^4 - 4t = a^2 - 4a$$

Введём функцию $f(t) = t^4 - 4t$

Возьмём производную от этой функции и найдём её нули:

$$f'(t) = 4t^3 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1$$

Точка $t = 1$ является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке $[0; 1]$ она монотонно убывает.

$$f(0) = 0$$ $$f(1) = -3$$

Значения данной функции будут находиться в промежутке $[-3; 0]$ при $t \in [0; 1]$.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке $[-3; 0]$.

$$\begin{cases} a^2 - 4a \leq 0\\ a^2 - 4a \geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(a - 4) \leq 0\\ (a - 1)(a - 3) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in [0; 4]\\ a \in (-\infty; 1] \cup [3; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow a \in [0; 1] \cup [3; 4]$$

Ответ: $[0; 1] \cup [3; 4]$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что и график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного следует, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$.

Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 8\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=8y+7\cdot 0^2+a,\\ 0^2+y^2=1 \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} 8+1=8y+a,\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$9=8\cdot 1+a,$$ $$a=1.$$

При $y=-1$ получаем: $$9=8\cdot (-1)+a,$$ $$a=17.$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение.

Подставим $a=17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+17,$$ $$8\cdot 2^x+7x=8y+7x^2+16.$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$16+7=8y+7+16,$$ $$8y=0,$$ $$y=0.$$

Значит, при $a=17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы будет являться также точка $(-1;0)$. Значит, при $a=17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+1,$$ $$y=\frac{8\cdot 2^x+7x-7x^2}{8}=2^x+\frac78x-\frac78x^2.$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac78x \ge \frac78x^2$, следовательно, $$\frac78x-\frac78x^2 \ge 0.$$ При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac78x-\frac78x^2>1.$$

Значит, у графика первого уравнения нет точек пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, а по симметрии и при $x \in [-1;0)$ тоже нет. Остается единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$.

Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{1\}.$$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 6\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=6y+7\cdot 0^2+a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6+1=6y+a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$7=6\cdot 1+a$$ $$a=1$$

При $y=-1$ получаем: $$7=6\cdot (-1)+a$$ $$a=13$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=13$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+13$$ $$6\cdot 2^x+7x=6y+7x^2+12$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$12+7=6y+7+12$$ $$6y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=13$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=13$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+1$$ $$y=\frac{6\cdot 2^x+7x-7x^2}{6}=2^x+\frac76x-\frac76x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac76x \ge \frac76x^2$, следовательно, $\frac76x-\frac76x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac76x-\frac76x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$. Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ:

$$a \in \{1\}$$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 5\cdot 2^{|0|}+6\cdot |0|+7=5y+6\cdot 0^2-a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 5+7=5y-a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$12=5\cdot 1-a$$ $$a=-7$$

При $y=-1$ получаем: $$12=5\cdot (-1)-a$$ $$a=-17$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=-17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+17$$ $$5\cdot 2^x+6x=5y+6x^2+10$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$10+6=5y+6+10$$ $$5y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=-17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=-17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=-7$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+7$$ $$y=\frac{5\cdot 2^x+6x-6x^2}{5}=2^x+\frac65x-\frac65x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac65x \ge \frac65x^2$, следовательно, $\frac65x-\frac65x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac65x-\frac65x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$, следовательно, $a=-7$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{-7\}$$