Тип 999 № 18158

Докажем, что диагональ $A_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и скрещивающаяся с ней диагональ $BD$ грани $ABCD$ взаимно перпендикулярны.

$AC$ – проекция наклонной $A_1C$ на плоскость грани $ABCD$.

Так как $ABCD$ – квадрат, то $AC \perp BD$.

Итак, проекция наклонной $A_1C$ на плоскость $(ABC)$ перпендикулярна прямой $BD$ этой плоскости. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, заключаем, что

$$A_1C \perp BD.$$