Тип 999 № 18286

а) Если $BC_1 \parallel \alpha$, то $\alpha$ содержит прямую, параллельную $BC_1$. Отложим на продолжении отрезка $CC_1$ за точку $C_1$ отрезок $C_1O=C C_1$. Тогда $$C_1O=BB_1,\quad C_1O \parallel BB_1,$$ следовательно, $BB_1OC_1$ — параллелограмм, следовательно, $$B_1O \parallel BC_1.$$

Тогда плоскость $\alpha$ — это плоскость $KB_1O$.

Пусть $$KO \cap A_1C_1=M.$$

Докажем, что $$A_1M:MC_1=1:2.$$

Пусть $L$ — середина $CC_1$. Тогда $$KL \parallel A_1C_1$$ и $$KL=A_1C_1.$$

Тогда $$\triangle MOC_1 \sim \triangle KOL,$$ следовательно, $$\frac{MC_1}{KL}=\frac{OC_1}{OL}=\frac{2}{3}$$

$$MC_1=\frac{2}{3}KL=\frac{2}{3}A_1C_1$$

$$A_1M=\frac{1}{3}A_1C_1$$

$$A_1M:MC_1=1:2.$$

Чтд.