Тип 999 № 18450

Проведем в плоскости $\alpha$ отрезок $DB_1 = AA_1$, $DB_1 \parallel AA_1$. Тогда $AA_1B_1D$ — параллелограмм, следовательно, $AD \parallel l$, следовательно, $AD \perp (BB_1D)$ ($l \perp (BB_1D)$ так как $l \perp DB_1$, $l \perp BB_1$). Следовательно, $\angle ADB_1 = 90^\circ$. Также по построению $\angle BB_1D = \phi$.

По теореме косинусов для $\triangle BB_1D$:

$$BD^2 = BB_1^2 + DB_1^2 - 2 \cdot BB_1 \cdot DB_1 \cdot \cos \phi$$

По теореме Пифагора из $\triangle ABD$:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

Подставим первое равенство во второе, заменим $DB_1$ на $AA_1$, $CD$ на $A_1B_1$ и получим искомое неравенство.