Тип 19 № 18467

а) Нет. $$S=\frac{2n_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что $S=13$, то $$(2n_1+d(n-1))\cdot n=26.$$ Заметим, что $26=13\cdot 2$, поскольку $n\ge 3$, $n=13$ или $n=26$. Но сумма $13$-ти различных натуральных чисел больше $13$.

б) Все данные $n$ чисел натуральные, поэтому наименьшее из них больше или равно $1$, а поскольку все эти числа различны (отличаются друг от друга не менее чем на $1$), то их сумма $S$ не меньше суммы $$1+2+3+\ldots+n,$$ то есть $$S\ge \frac{n(n+1)}{2}.$$ Если известно, что $S<500$, то из неравенства $$\frac{n(n+1)}{2}\le S$$ следует, что $$\frac{n(n+1)}{2}<500,\qquad n(n+1)<1000,$$ откуда $n<32$ (при $n\ge 32$ имеем: $n(n+1)=32\cdot 33>1000$). При $n=31$ имеем: $$n(n+1)=31\cdot 32<1000,$$ натуральные числа от $1$ до $31$ (без пропусков) составляют арифметическую прогрессию, их количество равно $31$, а сумма меньше $500$. Таким образом, наибольшее возможное значение $n$ в пункте б) равно $31$.

в) Пусть $a_1$ — наименьшее из данных $n$ чисел, образующих арифметическую прогрессию, $d$ — разность этой прогрессии. Тогда по известной формуле сумма этих $n$ чисел равна $$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$ Если известно, что сумма данных $n$ чисел равна $57$, то $$(2a_1+d(n-1))\cdot n=114.$$ Заметим, что $114=2\cdot 3\cdot 19$ и $n$ — один из делителей числа $114$.

Поскольку $n\ge 3$, то возможные значения $n=3,\,6,\,19,\,38,\,57$ и $114$. Исходя из неравенства $$n\cdot (n+1)\le 114,$$ получим, что $n\le 10$.

При $n=3$ получаем равенство $$a_1+d=19,$$ которое выполняется, например, при $a_1=1$, $d=18$. Прогрессия $1;\,19;\,37$ состоит из $3$ членов, сумма равна $57$.

При $n=6$ получаем равенство $$2a_1+5d=19,$$ которое выполняется при $a_1=2$, $d=3$. Прогрессия $2,\,5,\,8,\,11,\,14,\,17$ состоит из $6$ членов, сумма равна $57$.

Ответ: а) нет; б) $31$; в) $3,\,6$.