Тип 12 № 19749

ОДЗ функции $x \ge 0$.

Найдём производную функции:

$$y' = (12)' + 9(x)' - 2\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'$$

$$y' = 9 - 2\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$

$$y' = 9 - 3\sqrt{x}$$

Найдём экстремумы функции:

$$9 - 3\sqrt{x} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{x} = 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = 9$$

Воспользуемся методом интервалов:

Таким образом точка максимума функции $x = 9$. Так как это точка принадлежит указанному отрезку, то $y(9)$ — наибольшее значение исходной функции:

$$y(9)=12+9\cdot 9-2\cdot 9\sqrt{9}=12+81-54=39$$