Тип 12 № 19968

Найдем производную заданной функции:

$$y'=3x^2-147=3(x^2-49)=3(x+7)(x-7).$$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$$\begin{cases} 3(x+7)(x-7)=0,\\ 0\le x\le 8, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \quad 0\le x\le 8,\ x=7.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=7$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$$y(7)=7^3-147\cdot 7+19=343-1029+19=-667.$$