Две окружности касаются внутренним образом в точке , причем меньшая окружность проходит через центр большей. Диаметр большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке , отличной от точки . Лучи и вторично пересекают большую окружность в точках и соответственно. Точка лежит вне дуги большей окружности, не содержащей точку .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Известно, что , прямые и пересекаются в точке . Найдите .
Решение:
а) Рассмотрим и : , так как опираются на диаметры и соответственно, — общий. Тогда треугольники и подобны по двум углам и . Поскольку эти углы соответственные при прямых и и секущей , то и .
б) Из предыдущего пункта следует, что коэффициент подобия треугольников и равен . Следовательно, . Обозначим , , . Найдем .
Заметим, что треугольники и подобны по двум углам. Следовательно,
Так как — радиусы большей окружности, то
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Поскольку , то примем , . Тогда по теореме Пифагора и
Отсюда , и с учетом получим
Ответ:
б)