На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.
а) Может ли на доске быть написано число 230?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?
Решение:
a) Упорядочим числа по возрастанию . Пусть одно из этих чисел равно 230. Пусть все оставшиеся 99 чисел — это 1, 2, 3, …, 99. Тогда сумма всех ста чисел — наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть 230. Вычислим ее:
Получим противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
б) Предположим, что на доске нет числа 14. Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел — наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна:
Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.
в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные 14 (это числа 14, 28, 42, 56):
Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.
Возьмем набор чисел от 1 до 100. Сумма чисел в данном наборе равна 5050. Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные 14, странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число — это 98. Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число — это 101. После этого мы получим минимальную сумму, равную 5053. Она меньше, чем 5120, поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа 84, 70. Вместо них добавим 101, 102, 103. Получим при этом минимальную сумму, равную 5104. Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав 56 и добавив 104, получим сумму 5152, что больше, чем 5120. В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.
Ответ:
а) Нет
б) Нет
в) 4