Тип 15 № 20211

а) Перепишем уравнение в следующем виде:

$$\frac{\cos x-(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x}=0 \Leftrightarrow$$

$$\begin{cases} \cos x-\cos^2 x=0 \\ \sin x\ne -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\begin{cases} \cos x=0 \\ \cos x=1 \\ \sin x\ne -1 \end{cases}$$

Пересечем решения данной системы по окружности:

Таким образом, мы видим, что нам подходят только точки

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}.$$

б) Отберем корни с помощью неравенств.

$$2\pi\le 2\pi n\le \frac{7\pi}{2} \Leftrightarrow 1\le n\le \frac{7}{4} \Rightarrow n=1 \Rightarrow x=2\pi$$

$$2\pi\le \frac{\pi}{2}+2\pi k\le \frac{7\pi}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}\le k\le \frac{3}{2} \Rightarrow k=1 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{2}$$

Ответ:

а) $2\pi n,\quad \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}$

б) $2\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}$