Тип 15 № 20212

а) Проведем медианы AM и BM в треугольниках ADC и BDC соответственно. Тетраэдр правильный, следовательно, его грани — равносторонние треугольники и медианы будут также являться высотами, то есть AM ⊥ DC и BM ⊥ DC. Тогда прямая DC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости (AMB ). Значит, прямая DC перпендикулярна плоскости (AMB ) и перпендикулярна любой прямой плоскости (AMB ), в частности, прямой AB.

б) Прямая $DH$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Опустим перпендикуляр $MG$ на $(ABC)$. Тогда $MG \parallel DH$ и искомый угол между прямыми $DH$ и $BM$ есть угол между прямыми $MG$ и $BM$, то есть угол $\angle GMB$.

Обозначим ребро тетраэдра через $a$. Тогда высота равностороннего треугольника его грани равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Посмотрим на медиану $CF$ треугольника $ABC$. Точка $H$ — центр треугольника, а значит, и точка пересечения медиан. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, следовательно, $CH=2FH$.

Точка $M$ — середина $CD$, точка $H$ — проекция точки $D$ на плоскость $(ABC)$. Следовательно, проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$ — точка $G$ — будет являться серединой $HC$. Таким образом, $FH=HG=GC$ и

$$GC=\frac13\,CF=\frac13\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$

По теореме Пифагора для треугольника $MCG$:

$$MG=\sqrt{MC^2-GC^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}=\frac{1}{\sqrt{6}}a$$

Отрезок $MB=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ как высота в треугольнике $DCB$. Тогда из прямоугольного треугольника $GMB$:

$$\cos \angle GMB=\frac{MG}{MB}=\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{3} \Rightarrow \angle GMB=\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Ответ:

б) $\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}$