Тип 15 № 20213

Сделаем замену $2^x=t$, тогда неравенство примет вид

$$\frac{t}{t-8}+\frac{t+8}{t-4}+\frac{66}{t^2-12t+32}\le 0$$

$$\frac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\le 0$$

$$\frac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\le 0 \Leftrightarrow \frac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\le 0$$

Решим данное неравенство методом интервалов:

Выпишем подходящие $t$ и сделаем обратную замену:

$$\begin{cases} t=1 \\ 4<t<8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x=1 \\ 4<2^x<8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ 2<x<3 \end{cases}$$

Таким образом, получаем

$$x\in\{0\}\cup(2;3)$$

Ответ:

$$\{0\}\cup(2;3)$$