Тип 15 № 20216

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD и пересекает продолжение стороны AD в точке E, а продолжение стороны CD в точке K.

a) Докажите, что отрезки BE и BK равны.

б) Найдите отношение KE к AC, если $∠ABC = 135^o$ .

Решение:

а) Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle DAB=\angle BCD$ , причем эти углы вписанные в окружность. Угол $DAB$ опирается на дугу $BCE$ окружности, а угол $BCD$ — на дугу $KAB$ окружности. Вписанные углы равны, следовательно, равны и дуги, на которые эти углы опираются, а также равны хорды $BK$ и $BE$ , которые их стягивают. Тогда получили, что $BK=BE$ .

б) Так как $ABCD$ — параллелограмм, то

$\angle BCD=180^\circ-\angle ABC=45^\circ$

Так как $BC\parallel AE$ , то

$\angle EDC=\angle BCD=45^\circ$

Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCE$ . В нем сумма противолежащих углов равна $180^\circ$ , следовательно,

$\angle ABC+\angle CEA=180^\circ \Rightarrow \angle CEA=180^\circ-\angle ABC=45^\circ$

Получили, что в треугольнике $DCE$ два угла по $45^\circ$ , значит, он равнобедренный прямоугольный. В этом треугольнике имеем:

$DE:DC=\sqrt{2}:1$

Далее, $\triangle KDE\sim\triangle ADC$ по двум углам, поскольку $\angle EKD=\angle DAC$ как вписанные, опирающиеся на одну дугу $CE$ и $\angle KDE=\angle CDA$ как вертикальные. Тогда искомое отношение равно

$\frac{KE}{AC}=\frac{DE}{DC}=\sqrt{2}$

Ответ:

б) $\sqrt{2}$