Тип 15 № 20221

Сделаем замену $p=\sqrt{x+2a-1},\ q=\sqrt{x-a}$. Имеем систему:

$$\begin{cases} p=\sqrt{x+2a-1} \\ q=\sqrt{x-a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2=x+2a-1 \\ q^2=x-a \\ p\ge 0 \\ q\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^2-q^2=3a-1 \\ x=q^2+a \\ p\ge 0 \\ q\ge 0 \end{cases}$$

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p+q=1 \\ (p-q)(p+q)=p^2-q^2=3a-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p+q=1 \\ p-q=3a-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p\ge 0 \\ q\ge 0 \\ p=\frac32a \\ q=1-\frac32a \end{cases}$$

Система имеет решения, если выполнено $p\ge 0,\ q\ge 0$:

$$\begin{cases} \frac32a\ge 0 \\ 1-\frac32a\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0\le a\le \frac23$$

Ответ:

$$a\in\left[0;\frac23\right]$$