Тип 15 № 20237

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и формулой приведения:

$$1 - 2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0.$$

Пусть $t = \sin x$. Тогда получаем:

$$2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = -\sqrt{2}, \\ t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{array} \right.$$

Вернёмся к исходной переменной:

$$\left[ \begin{array}{l} \sin x = -\sqrt{2}, \\ \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \\ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.$$

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \dfrac{7\pi}{2}\right]$. Получим числа $\dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{11\pi}{4}$.

Ответ: а) $\left\{\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k : k \in \mathbb{Z}\right\}$, б) $\dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{11\pi}{4}$.