Тип 15 № 20240

а) Обозначим длину трети стороны $AB$ через $c$, длину трети стороны $BC$ через $b$. По свойству касательной $BL \cdot BK = l^2 = BM \cdot BN$, где $l$ — длина касательной к окружности из точки $B$. Тогда $2b \cdot b = 2c \cdot c \Rightarrow b = c \Rightarrow \triangle ABC$ — равнобедренный.

б) Введем новые обозначения. Мы доказали, что треугольник равнобедренный, обозначим треть его боковой стороны через $a$. По свойству касательной

$$AB_1^2 = AK \cdot AL,\qquad CB_1^2 = CN \cdot CM.$$ Тогда

$$CB_1^2 = AB_1^2 = 2a^2 \Rightarrow CB_1 = AB_1 = a\sqrt{2}.$$ Пусть $p$ — полупериметр $\triangle ABC$: $p = 3a + a\sqrt{2}$. Запишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами

$$\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = S_{ABC} = \frac12\,BC\cdot AH$$

$$AH=\frac{2\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}{BC} =\frac{2\sqrt{(3a+a\sqrt{2})(a\sqrt{2})^2(3a-a\sqrt{2})}}{3a} =\frac{2a^2\sqrt{14}}{3a} =\frac{2a\sqrt{14}}{3}$$ По теореме Пифагора для $\triangle ABH$

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{9a^2-\frac{56}{9}a^2}=\frac53a \Rightarrow CH=\frac43a \Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac54$$

Ответ: б) 5:4.